Sobat pintar, bersiaplah untuk UTS Matematika kelas 12! Salah satu materi yang sering muncul adalah deret geometri. Materi ini memang sedikit rumit, tapi jangan khawatir, dengan trik yang tepat, kamu bisa menghitung deret geometri dengan mudah dan cepat.
Bayangkan, kamu bisa menyelesaikan soal deret geometri dalam waktu singkat, sehingga kamu punya lebih banyak waktu untuk mengerjakan soal lainnya. Yuk, kita bahas bersama bagaimana menaklukkan deret geometri dan meraih nilai UTS yang memuaskan!
Memahami Konsep Dasar Deret Geometri
Sebelum kita membahas trik-triknya, penting untuk memahami konsep dasar deret geometri. Deret geometri adalah deret yang memiliki pola tertentu, yaitu setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan yang konstan, yang disebut rasio.
Contohnya, deret 2, 4, 8, 16, 32... merupakan deret geometri dengan rasio 2. Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2.
Rumus Penting yang Harus Kamu Kuasai
Ada beberapa rumus penting dalam deret geometri yang perlu kamu kuasai:
- Suku ke-n (Un): Un = a * r^(n-1), di mana a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah nomor suku.
- Jumlah n suku pertama (Sn): Sn = a(1 - r^n) / (1 - r), untuk r ≠ 1, atau Sn = n * a, untuk r = 1.
Trik Menghitung Deret Geometri dengan Cepat
Berikut ini beberapa trik jitu untuk menghitung deret geometri dengan cepat dan akurat:
1. Menentukan Rasio (r)
- Tentukan dua suku berurutan: Pilih dua suku berurutan dalam deret geometri.
- Bagi suku kedua dengan suku pertama: Hasil pembagian ini adalah rasio (r).
Contoh: Dalam deret geometri 3, 6, 12, 24..., rasio (r) adalah 6/3 = 2.
2. Menentukan Suku Pertama (a)
- Perhatikan suku pertama: Suku pertama (a) adalah suku yang berada di posisi pertama dalam deret geometri.
Contoh: Dalam deret geometri 3, 6, 12, 24..., suku pertama (a) adalah 3.
3. Mencari Suku ke-n (Un)
- Gunakan rumus: Un = a * r^(n-1)
- Substitusikan nilai a, r, dan n: Pastikan kamu telah menentukan nilai a, r, dan n yang tepat.
Contoh: Dalam deret geometri 3, 6, 12, 24..., untuk mencari suku ke-5 (U5), gunakan rumus: U5 = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48.
4. Menghitung Jumlah n Suku Pertama (Sn)
- Gunakan rumus: Sn = a(1 - r^n) / (1 - r), untuk r ≠ 1, atau Sn = n * a, untuk r = 1.
- Substitusikan nilai a, r, dan n: Pastikan kamu telah menentukan nilai a, r, dan n yang tepat.
Contoh: Dalam deret geometri 3, 6, 12, 24..., untuk mencari jumlah 5 suku pertama (S5), gunakan rumus: S5 = 3 (1 - 2^5) / (1 - 2) = 3 (-31) / (-1) = 93.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Berikut ini beberapa contoh soal uraian yang sering muncul di UTS Matematika kelas 12 tentang deret geometri, lengkap dengan penyelesaiannya:
1. Diketahui deret geometri 2, 6, 18, 54.... Tentukan suku ke-7 (U7)!
Penyelesaian:
- Tentukan rasio (r): r = 6/2 = 3.
- Gunakan rumus: U7 = 2 * 3^(7-1) = 2 * 3^6 = 2 * 729 = 1458.
- Jadi, suku ke-7 (U7) adalah 1458.
2. Tentukan jumlah 8 suku pertama (S8) dari deret geometri 1, -2, 4, -8....
Penyelesaian:
- Tentukan rasio (r): r = -2/1 = -2.
- Gunakan rumus: S8 = 1 (1 - (-2)^8) / (1 - (-2)) = 1 (1 - 256) / 3 = -255/3 = -85.
- Jadi, jumlah 8 suku pertama (S8) adalah -85.
3. Diketahui suku pertama (a) suatu deret geometri adalah 5 dan rasio (r) adalah 2. Tentukan jumlah 6 suku pertama (S6) dari deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
- Gunakan rumus: S6 = 5 (1 - 2^6) / (1 - 2) = 5 (-63) / (-1) = 315.
- Jadi, jumlah 6 suku pertama (S6) adalah 315.
4. Suatu deret geometri memiliki suku pertama (a) = 4 dan suku ke-3 (U3) = 36. Tentukan jumlah 5 suku pertama (S5) dari deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
- Tentukan rasio (r): U3 = a * r^2, maka 36 = 4 * r^2, sehingga r^2 = 9, dan r = 3 (karena r > 0).
- Gunakan rumus: S5 = 4 (1 - 3^5) / (1 - 3) = 4 (-242) / (-2) = 484.
- Jadi, jumlah 5 suku pertama (S5) adalah 484.
5. Diketahui suku pertama (a) suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah 4 suku pertama (S4) adalah 30. Tentukan suku ke-5 (U5) dari deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
- Gunakan rumus S4: S4 = a (1 - r^4) / (1 - r) = 30.
- Substitusikan a = 2: 2 (1 - r^4) / (1 - r) = 30.
- Sederhanakan persamaan: 1 - r^4 = 15 (1 - r).
- Cari nilai r: r = 2.
- Gunakan rumus U5: U5 = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2^4 = 2 * 16 = 32.
- Jadi, suku ke-5 (U5) adalah 32.
6. Suatu deret geometri memiliki suku pertama (a) = 3 dan rasio (r) = 1/2. Tentukan jumlah tak hingga (S∞) dari deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
- Gunakan rumus S∞: S∞ = a / (1 - r), dengan syarat |r| < 1.
- Substitusikan a = 3 dan r = 1/2: S∞ = 3 / (1 - 1/2) = 3 / (1/2) = 6.
- Jadi, jumlah tak hingga (S∞) dari deret geometri tersebut adalah 6.
7. Diketahui deret geometri 1/2, 1/4, 1/8, 1/16.... Tentukan jumlah tak hingga (S∞) dari deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
- Tentukan rasio (r): r = (1/4) / (1/2) = 1/2.
- Gunakan rumus S∞: S∞ = (1/2) / (1 - 1/2) = (1/2) / (1/2) = 1.
- Jadi, jumlah tak hingga (S∞) dari deret geometri tersebut adalah 1.
8. Suatu deret geometri memiliki suku pertama (a) = 5 dan jumlah tak hingga (S∞) = 10. Tentukan rasio (r) dari deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
- Gunakan rumus S∞: S∞ = a / (1 - r) = 10.
- Substitusikan a = 5: 5 / (1 - r) = 10.
- Sederhanakan persamaan: 1 - r = 1/2.
- Cari nilai r: r = 1/2.
- Jadi, rasio (r) dari deret geometri tersebut adalah 1/2.
9. Suatu deret geometri memiliki suku kedua (U2) = 6 dan suku ke-4 (U4) = 54. Tentukan suku pertama (a) dan jumlah tak hingga (S∞) dari deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
- Tentukan rasio (r): U4 = a * r^3 dan U2 = a * r, sehingga U4 / U2 = r^2 = 54 / 6 = 9, maka r = 3.
- Tentukan suku pertama (a): U2 = a * r = 6, maka a = 6 / r = 6 / 3 = 2.
- Gunakan rumus S∞: S∞ = a / (1 - r) = 2 / (1 - 3) = -1.
- Jadi, suku pertama (a) adalah 2 dan jumlah tak hingga (S∞) adalah -1.
10. Diketahui deret geometri 1, -2, 4, -8.... Tentukan jumlah 10 suku pertama (S10) dari deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
- Tentukan rasio (r): r = -2 / 1 = -2.
- Gunakan rumus S10: S10 = 1 (1 - (-2)^10) / (1 - (-2)) = 1 (1 - 1024) / 3 = -1023 / 3 = -341.
- Jadi, jumlah 10 suku pertama (S10) adalah -341.
Tabel Rumus Deret Geometri
Berikut adalah tabel rumus deret geometri yang dapat kamu gunakan untuk membantu menyelesaikan soal-soal UTS Matematika kelas 12:
| Rumus | Deskripsi | ||
|---|---|---|---|
| Un = a * r^(n-1) | Suku ke-n (Un) | ||
| Sn = a(1 - r^n) / (1 - r) | Jumlah n suku pertama (Sn), untuk r ≠ 1 | ||
| Sn = n * a | Jumlah n suku pertama (Sn), untuk r = 1 | ||
| S∞ = a / (1 - r) | Jumlah tak hingga (S∞), dengan syarat | r | < 1 |
Kesimpulan
Nah, Sobat pintar, sekarang kamu sudah memahami konsep dasar deret geometri dan trik-trik jitu untuk menghitungnya dengan cepat. Jangan lupa untuk berlatih dengan berbagai contoh soal agar kamu lebih mahir dan percaya diri menghadapi UTS Matematika kelas 12.
Semoga artikel ini bermanfaat! Jangan lupa kunjungi blog ini lagi untuk mendapatkan tips dan trik seru lainnya untuk menaklukkan UTS dan ujian lainnya.