Menangani Soal Sistem Persamaan di UTS Matematika Kelas 12 dengan Mudah

PREDISKISOAL

6 min read

·

07-11-2024

1

0

Share

Sobat pintar, UTS (Ujian Tengah Semester) matematika kelas 12 sudah di depan mata. Tenang, kamu pasti bisa! Salah satu materi yang mungkin muncul adalah tentang sistem persamaan. Jangan khawatir, artikel ini akan membantumu memahami dan menguasai materi sistem persamaan dengan mudah.

Sistem persamaan merupakan salah satu materi penting dalam matematika kelas 12. Materi ini mengkaji bagaimana menyelesaikan persamaan dengan variabel lebih dari satu. Pemahaman tentang sistem persamaan sangat penting untuk mempelajari topik-topik lain dalam matematika seperti aljabar linear, kalkulus, dan matematika terapan.

Mengenal Sistem Persamaan dan Jenis-jenisnya

Apa itu Sistem Persamaan?

Sistem persamaan adalah sekumpulan persamaan dengan lebih dari satu variabel. Setiap persamaan dalam sistem ini mewakili hubungan antara variabel-variabel tersebut. Tujuannya adalah untuk menemukan nilai setiap variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

Jenis-jenis Sistem Persamaan

Ada berbagai jenis sistem persamaan, termasuk:

• Sistem Persamaan Linier: Semua persamaan dalam sistem merupakan persamaan linear. Persamaan linear adalah persamaan dengan variabel berpangkat satu.
• Sistem Persamaan Non-Linier: Setidaknya satu persamaan dalam sistem merupakan persamaan non-linear. Persamaan non-linear adalah persamaan dengan variabel berpangkat lebih dari satu atau memiliki fungsi trigonometri, eksponensial, atau logaritma.
• Sistem Persamaan Dua Variabel: Sistem ini hanya memiliki dua variabel, misalnya x dan y.
• Sistem Persamaan Tiga Variabel: Sistem ini memiliki tiga variabel, misalnya x, y, dan z.

Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan

Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan. Berikut langkah-langkahnya:

1. Pilih salah satu persamaan dalam sistem dan ubah persamaan tersebut sehingga salah satu variabel dinyatakan dalam variabel lainnya.
2. Substitusikan ekspresi variabel yang telah diperoleh ke persamaan lainnya.
3. Selesaikan persamaan baru ini untuk mendapatkan nilai variabel yang tersisa.
4. Substitusikan nilai variabel yang telah ditemukan ke salah satu persamaan asli untuk menemukan nilai variabel lainnya.

Metode Eliminasi

Metode eliminasi merupakan metode lain yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan. Berikut langkah-langkahnya:

1. Kalikan persamaan dalam sistem dengan konstanta yang tepat sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama.
2. Kurangi atau tambahkan kedua persamaan untuk menghilangkan salah satu variabel.
3. Selesaikan persamaan baru ini untuk mendapatkan nilai variabel yang tersisa.
4. Substitusikan nilai variabel yang telah ditemukan ke salah satu persamaan asli untuk menemukan nilai variabel lainnya.

Metode Grafik

Metode grafik adalah metode visual untuk menyelesaikan sistem persamaan. Berikut langkah-langkahnya:

1. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y untuk setiap persamaan dalam sistem.
2. Buat grafik setiap persamaan pada sistem koordinat yang sama.
3. Titik potong antara kedua grafik merupakan solusi dari sistem persamaan.

Soal Latihan dan Pembahasan

Berikut beberapa contoh soal latihan tentang sistem persamaan yang sering muncul di UTS Matematika Kelas 12, lengkap dengan pembahasannya:

Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Eliminasi:

  Kita bisa menghilangkan variabel y dengan menjumlahkan kedua persamaan.

  (x + y) + (2x - y) = 5 + 1
  3x = 6
  x = 2
  

  Substitusikan x = 2 ke persamaan pertama:

  2 + y = 5
  y = 3
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (2, 3).

• Metode Substitusi:

  Dari persamaan pertama, kita dapat menyatakan x sebagai x = 5 - y. Substitusikan ke persamaan kedua:

  2(5 - y) - y = 1
  10 - 2y - y = 1
  -3y = -9
  y = 3
  

  Substitusikan y = 3 ke persamaan x = 5 - y:

  x = 5 - 3
  x = 2
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (2, 3).

Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Substitusi:

  Dari persamaan kedua, kita dapat menyatakan x sebagai x = y + 1. Substitusikan ke persamaan pertama:

  (y + 1)^2 + y^2 = 25
  y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25
  2y^2 + 2y - 24 = 0
  y^2 + y - 12 = 0
  (y + 4)(y - 3) = 0
  

  Maka y = -4 atau y = 3.

  Substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 1 untuk mendapatkan nilai x:

  • Jika y = -4, maka x = -4 + 1 = -3
  • Jika y = 3, maka x = 3 + 1 = 4

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (-3, -4) dan (4, 3).

Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 10 \\ 4x - y = 2 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Eliminasi:

  Kalikan persamaan kedua dengan 3:

  12x - 3y = 6
  

  Jumlahkan kedua persamaan:

  14x = 16
  x = 8/7
  

  Substitusikan nilai x ke persamaan pertama:

  2(8/7) + 3y = 10
  16/7 + 3y = 10
  3y = 54/7
  y = 18/7
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (8/7, 18/7).

Soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Eliminasi:

  Jumlahkan kedua persamaan:

  2x = 6
  x = 3
  

  Substitusikan nilai x ke persamaan pertama:

  3 + y = 4
  y = 1
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (3, 1).

Soal 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Substitusi:

  Dari persamaan pertama, kita dapat menyatakan x sebagai x = 5 - 2y. Substitusikan ke persamaan kedua:

  2(5 - 2y) - y = 1
  10 - 4y - y = 1
  -5y = -9
  y = 9/5
  

  Substitusikan y = 9/5 ke persamaan x = 5 - 2y:

  x = 5 - 2(9/5)
  x = 7/5
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (7/5, 9/5).

Soal 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ x + y = 4 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Eliminasi:

  Kalikan persamaan kedua dengan 2:

  2x + 2y = 8
  

  Jumlahkan kedua persamaan:

  5x = 9
  x = 9/5
  

  Substitusikan nilai x ke persamaan pertama:

  3(9/5) - 2y = 1
  27/5 - 2y = 1
  -2y = -22/5
  y = 11/5
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (9/5, 11/5).

Soal 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Eliminasi:

  Jumlahkan kedua persamaan:

  2x = 6
  x = 3
  

  Substitusikan nilai x ke persamaan pertama:

  3 + y = 5
  y = 2
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (3, 2).

Soal 8

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x - y = 2 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Substitusi:

  Dari persamaan kedua, kita dapat menyatakan x sebagai x = y + 2. Substitusikan ke persamaan pertama:

  2(y + 2) + 3y = 1
  2y + 4 + 3y = 1
  5y = -3
  y = -3/5
  

  Substitusikan y = -3/5 ke persamaan x = y + 2:

  x = -3/5 + 2
  x = 7/5
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (7/5, -3/5).

Soal 9

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ x - y = 2 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Substitusi:

  Dari persamaan kedua, kita dapat menyatakan x sebagai x = y + 2. Substitusikan ke persamaan pertama:

  (y + 2)^2 + y^2 = 100
  y^2 + 4y + 4 + y^2 = 100
  2y^2 + 4y - 96 = 0
  y^2 + 2y - 48 = 0
  (y + 8)(y - 6) = 0
  

  Maka y = -8 atau y = 6.

  Substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 2 untuk mendapatkan nilai x:

  • Jika y = -8, maka x = -8 + 2 = -6
  • Jika y = 6, maka x = 6 + 2 = 8

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (-6, -8) dan (8, 6).

Soal 10

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

$$\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$

Pembahasan:

• Metode Eliminasi:

  Kalikan persamaan kedua dengan 3:

  6x - 3y = 3
  

  Jumlahkan kedua persamaan:

  7x = 10
  x = 10/7
  

  Substitusikan nilai x ke persamaan pertama:

  10/7 + 3y = 7
  3y = 39/7
  y = 13/7
  

  Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah (10/7, 13/7).

Tabel Perbandingan Metode Penyelesaian Sistem Persamaan

Kesimpulan

Soal sistem persamaan memang tampak rumit, tetapi dengan memahami konsep dasar dan mempelajari metode-metode yang tepat, kamu bisa mengatasinya dengan mudah. Artikel ini telah memberikan pemahaman tentang berbagai jenis sistem persamaan, metode penyelesaian, dan contoh soal latihan yang dapat membantu kamu dalam menghadapi UTS Matematika Kelas 12.

Jangan lupa untuk terus berlatih soal dan memahami setiap konsep agar kamu siap menghadapi UTS Matematika dengan percaya diri. Kunjungi blog ini lagi untuk menemukan tips dan trik belajar matematika lainnya!